Роже Апери родился в Руане (Нормандия, Франция) 14 ноября 1916 года. Его отец — Жорж Апери (Georges Apery, 1887—1978), грек по национальности, эмигрировал во Францию в 1903 году, затем обучался в Гренобльском электротехническом институте, а во время Первой мировой войны воевал во французской армии. Его мать — урождённая Жюстин ван дер Крейссен (Justine van der Cruyssen, 1892—1965) переделала своё фламандское имя на французский манер и стала Луизой Делакруа (Louise Delacroix).
До 1926 года они жили в Лилле, а затем переехали в Париж.
В 1936 году Роже Апери поступил в Высшую нормальную школу в Париже (Ecole Normale Superieure, rue d"Ulm), показав второй результат во Франции.
В 1939 году началась Вторая мировая война, и он был призван на военную службу, а в 1940 году в Нанси попал в плен, будучи в чине младшего лейтенанта. По состоянию здоровья он был выпущен на свободу летом 1941 года.Осенью 1941 года Роже Апери уже работал ассистентом в Сорбонне под руководством Эли Картана (Elie Cartan).
В 1947 году он получил докторскую степень — руководителями его диссертационной работы были Поль Дюбрейль[fr] (Paul Dubreil) и Рене Гарнье (Rene Garnier).C 1949 года Роже Апери начал работать в Канском университете (Нижняя Нормандия), где он в 1953 году получил должность профессора и работал там до самого выхода на пенсию в 1986 году.