Александр Анучкин родился 20 июля 1976 года в Москве, в семье педагогов.
В 1993 году окончил московскую гимназию № 1505. Окончил Московский государственный педагогический университет в 1998 году.
С 12 лет работал в самых разных СМИ — начиная с «Пионерской зорьки» и заканчивая итоговыми аналитическими программами на центральных телеканалах. Занимал должности корреспондента и ведущего на радиостанциях «Смена» и «Голос России» . Работал фотокорреспондентом, специальным корреспондентом и выпускающим редактором ряда газет, среди них — «Сегодня» и «Московская правда» .
На телевидении с 1997 года. Изначально работал на телеканале «ТВ Центр» .
С 2000 по 2001 год являлся специальным корреспондентом программ «Новости» и «Время» (ОРТ). 27 августа 2000 года в прямых включениях в программе ОРТ «Время. Воскресный выпуск» рассказал подробности о пожаре на Останкинской телебашне.
В 2001 году переходит на НТВ. Был ведущим и корреспондентом программ «Криминал» , «Чистосердечное признание» , «Внимание, розыск!» (2001—2004).
С 2004 года являлся корреспондентом и ведущим программы «Спецрасследование» (производство телекомпании «Останкино» , вещатель — «Первый канал» ); с августа 2006 года был одним из авторов цикла журналистских расследований «В центре внимания» (ТВ Центр).
С 2007 года вёл программы «Экстренный вызов 112» и «Главное» («Пятый канал» ). Также являлся автором сценариев, продюсером и режиссёром-постановщиком документальных фильмов и цикловых программ, выходивших на разных телеканалах.
В конце 2000-х годов Александр бросил телевидение и улетел в Турцию, где открыл русский ресторан «Бизон» . О работе в турецком общепите он писал на сайте журнала Forbes. Летом 2010 вернулся в Россию и возобновил работу в медийной сфере.
С 2011 по 2017 год Александр работал на «Пятом канале» в должности руководителя Дирекции информационно-аналитического вещания (ДИАВ).
До марта 2011 также вёл программу «Сейчас» , одновременно с этим возглавляя Службу выпуска ДИАВ.
С июня 2017 года — заместитель генерального директора и руководитель Северо-западного филиала мультимедийного информационного центра «Известия» , отвечающего за производство новостей для одноимённой газеты и телекомпаний, входящих в «Национальную Медиа Группу» («РЕН ТВ» , «Пятый канал» и «78» ).