Генрих Иоганн Иммануил Аншюц родился в семье директора местного детского дома. Начальное и среднее образование Генрих Аншюц получил, усердно занимаясь в княжеской гимназии Святого Августина (Gymnasium St. Augustin) в городе Гримме (школа, где ранее учился наследный принц). По окончании гимназии Генрих Аншюц решил продолжить образование и с этой целью переехал в саксонский город Лейпциг, где в 1804 году поступил на юридический факультет местного университета, где изучал уголовное и гражданское право.Приятельские отношения его родителей с артистом Кристом, а также нередкие представления гастролировавших в городе Лейпциге трупп Иффланда и Вольфа пробудили в нём склонность к сцене. Помимо того, Аншюц при всякой возможности старался посещать театр «Goethe-Theater» в Бад-Лаукстедте, режиссёром в котором был в то время Иоганн Вольфганг фон Гёте.
В конце концов любовь к театру пересилила желание заниматься юриспруденцией и в 1807 году в возрасте 22 лет Генрих Аншюц дебютировал как театральный актёр в небольшом театре города Нюрнберга в роли Адольфа фон Клингберга в постановке «Die beiden Klingsberg» по произведению Августа фон Коцебу.
В 1811 году Аншюц был приглашен выступать на сцене театра города Кёнигсберга в Восточной Пруссии; позднее, в 1822 году, ему представилась возможность выступить на сцене «Hofburgtheater» в столице Австрии городе Вене.Генрих Аншюц специализировался на характерных и героических ролях, исполнять которые ему, по мнению современников, очень помогал его декламаторский талант и прекрасный, хорошо поставленный голос.Генрих Иоганн Иммануил Аншюц скончался в городе Вене 29 декабря 1865 года в возрасте восьмидесяти лет.Судьба четырёх его детей и обеих жён была напрямую связана с театром.