Родом из дворян Новгородской губернии Аничковых. Детство провел в Тифлисе и Вильне, в 1878 году переехал в Санкт-Петербург, где учился в 6-й гимназии, гимназии при историко-филологическом институте и 2-й гимназии.
В 1886 году он поступил на историко-филологический факультет Петербургского университета.
В декабре 1887 года был исключен за участие в студенческих беспорядках, отбывал воинскую повинность на Украине (1887—1889); в 1889 году восстановлен в университете и в 1892 году, наконец, окончил романо-германское отделение Санкт-Петербургского университета.
С 1895 года, после сдачи магистерского экзамена, — приват-доцент по кафедре истории западных литератур Санкт-Петербургского университета; был лектором английского языка в Киевском университете.Ежегодно ездил за границу (Лондон, Париж); изучал провансальский язык и литературу, творчество Шекспира.
В 1901 году вместе с М. М. Ковалевским он принял деятельное участие в устройстве Русской высшей школы в Париже; состоял её секретарём.
В Оксфордском университете читал лекции по славянскому фольклору и сравнительной мифологии.
В 1902 году, по возвращении из-за границы, преподавал в должности приват-доцента по кафедре западных литератур в Санкт-Петербургском университете, а также на Высших женских курсах.
В конце 1902 года был арестован по обвинению в политическом преступлении и в течение 13 месяцев находился в одиночном заключении — освобождён по Высочайшему манифесту. Вскоре защитил диссертацию «Весенняя обрядовая песня на Западе и у славян» , удостоенную Уваровской премией.
С 1903 года (по другим данным — с 1908 года) профессор Петербургского психоневрологического института.
С начала Первой мировой войны Аничков добровольно вступил в ополчение, затем служил военным цензором.
В 1917 году был откомандирован с русским отрядом во Францию; служил во французской армии в чине лейтенанта.
С 1918 года проживал в Югославии.
С 1920 года — профессор Белградского университета, В 1923—24 читал курс русского народного творчества в Русском педагогическом институте в Праге, с 1926 года профессор философского факультета университета в Скопье.
С 1924 член Союза русских писателей и журналистов в Чехословакии; с октября 1925 почетный член и заместитель председателя аналогичного Союза в Югославии. Выпустил книгу статей о символистах, акмеистах и футуристах («Новая русская поэзия» . Берлин, 1923).
С 1936 в отставке, вернулся в Белград, член Пушкинского комитета. Похоронен на Новом кладбище в Белграде.Был масоном. Посвящён в масонство в парижской ложе «Космос» по рекомендации Ю. С. Гамбарова в 1905 году. Один из основателей ложи «Возрождение» под эгидой ВВФ в 1906 году. Второй страж ложи при получении патента.
В январе 1918 года присоединён к парижской ложе «Братство народов» . Член-основатель белградской ложи «Максим Ковалевский» , которая в самом начале работала как масонский кружок. Присоединен 23 декабря 1924 года к ложе «Слога, рад и постоянство» , находившейся в Белграде.