Джошуа родился 18 сентября 1960 года в Колумбусе, штат Огайо.Ангрист в 1982 году получил степень бакалавра с отличием по экономике в Оберлинском колледже.
В 1987 году получил магистерскую степень по экономике и в 1989 году удостоен докторской степени по экономике в Принстонском университете.Преподавательскую деятельность начал в 1989—1991 годах в должности ассистента профессора Гарвардского университета. Старшим преподавателем по экономике в Еврейском университете в Иерусалиме в 1991—1995 годах. Был приглашённым ассоциированным профессором в Массачусетском технологическом институте в 1994—1995 годах, затем стал ассоциированным профессором в 1996—1998 годах, а в 1998—2008 годах занял должность полного профессора по экономике, и с 2008 года стал профессором экономики кафедры имени Форда в Массачусетском технологическом институте.
С 2011 года также является содиректором Школы эффективности и снижения неравенства при экономическом факультете Массачусетского технологического института.Был членом научного консультационного комитета Бюро переписи населения США в 2011—2012 годах, консультантом Фонда Альфреда Слоуна в 2012 году, сотрудником Всемирного банка в 2006 году. Был соредактором Journal of Labor Economics в 2002—2006 годах, членом редколлегии American Economic Review[en] в 2001—2003 годах, членом редколлегии Econometrica в 1994—1997 годах, помощником редактора Economics Letters, помощником редактора Journal of Business & Economic Statistics[en] в 1992—2001 годах, был научным сотрудником Института экономики труда в 2000 году.Является научным сотрудником Национального бюро экономических исследований с 1994 года, членом совета директоров Института Фалка при Еврейском университете в Иерусалиме с 2002 года, членом редколлегии в American Economic Journal[en] с 2007 года, помощником редактора Labour Economics[en] с 2006 года, членом почётного общества Фи Бета Каппа[en], членом эконометрическое общества с 1998 года, членом Общества Экономики труда с 2006 года, членом Американской академии искусств и наук с 2006 года.