Сын статского советника.
В 1886 году окончил историко-филологический факультет Киевского университета; за диссертацию «Очерк истории Волынской земли до конца XIV в.» был награждён золотой медалью и премией Киевского университета имени Николая Пирогова.
С 1887 года — и. о. младшего помощника правителя канцелярии эстляндского губернатора.
В 1889 году был перемещён на должность секретаря Лифляндского губернского правления.
В 1891 году назначен комиссаром по крестьянским делам Ревельского уезда.
В 1892 году назначен постоянным гласным Ревельского уездного по воинской повинности присутствия.
В 1894 году избран действительным членом Эстляндского губернского статистического комитета.
С 1895 года А. М. Андрияшев — советник Эстляндского губернского правления; с 1896 — директор Эстляндского губернского комитета Общества попечительного о тюрьмах.
В 1899 году он исполнял должность эстляндского вице-губернатора.
В 1886—1903 годах работал в архивах городов Ревеля и Риги.2 декабря 1900 года был назначен цензором Петербургского цензурного комитета; 21 августа 1914 года утверждён военным цензором; 25 декабря 1915 года ему поручено заведование драматической цензурой.
В 1903—1905 годах слушал курс Археологического института в Санкт-Петербурге. Затем работал в Петербургской археологической комиссии, исследовал историю Новгорода Великого. Участник XV (Новгород, 1911) и предварительного собрания к XVI (Москва, 1913) археологическим съездам.После 1917 года — учёный-архивист Киевского центрального архива древних актов.
В 1920-х годах — действительный член Археографической комиссии при АН СССР в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург) и Археографической комиссии при ВУАН, сотрудник Историко-географической комиссии при ВУАН, руководитель Комиссии старой истории Украины при ВУАН (1928—1930), редактор Комиссии по составлению биографического словаря деятелей Украины.Умер 8 февраля 1933 года. Похоронен в Киеве на Лукьяновском кладбище (участок № 10).