В юности Игорь Алешин всерьез занимался парашютным спортом. Сделал более 70 прыжков, но последний раз прыгнул ещё в 16 лет. Занимался самбо, стал третьим во всесоюзном юношеском первенстве «Динамо» .
До поступления в Омскую высшую школу милиции год отработал в отделе связи УВД Курганской области. Без срочной службы в вооруженных силах принимали только в Омскую высшую школу милиции.
В 1987 году, после окончания Омской высшей школы милиции, начал службу в уголовном розыске в Советском ОВД г. Кургана, УВД Курганской области.
С 1989 года — на различных должностях в отделе уголовного розыска и подразделений по борьбе с экономическими преступлениями в УВД Омской области.
С декабря 1999 года — начальник управления по борьбе с экономическими преступлениями УВД Омской области.
С февраля 2002 года — первый заместитель начальника УВД Омской области — начальник криминальной милиции.
С декабря 2006 года по 30 ноября 2008 года — министр внутренних дел по Республике Карелия.
С 1 декабря 2008 года по 11 июня 2011 года — министр внутренних дел по Республике Башкортостан.31 марта 2011 года генерал-лейтенанту милиции Алёшину присвоено специальное звание генерал-лейтенанта полиции и он вновь назначен министром внутренних дел по Республике Башкортостан.
С 11 июня 2011 года по 14 июня 2012 года — заместитель министра внутренних дел Российской Федерации.
С середины 2012 по 2013 год работал вице-президентом по безопасности и кадрам, членом Правления, вице-президентом по безопасности и защите активов ЗАО «Группа компаний «Медси» , которое входит в ОАО АФК «Система» .
В январе 2013 года назначен на должность советника президента ОАО «Мобильные ТелеСистемы» , которое входит в ОАО АФК «Система» .