Родился в семье русского военного врача.
В 1925 году окончил медицинский факультет Московского университета.
С 1937 года руководил кафедрой гистологии Харьковского медицинского института.
С 1938 года — заведующий отделом Харьковского института эндокринологии и химии гормонов. Труды Б. В. Алёшина посвящены изучению нервной регуляции эндокринных функций, гистофизиологическому исследованию желез внутренней секреции, патогенеза тиреотоксикоза.Внес существенный вклад в развитие отечественной и мировой эндокринологии. Им были получены ценные данные о нейросекреции. Б. В. Алешин расширил также представления о патогенезе эндемического и спорадического зоба.