Борис Алперс родился в пос. Новониколаевский (ныне г. Новосибирск): его отец, Владимир Михайлович Алперс (1863—1921), экономист, приехавший из Петербурга, принимал участие в строительстве Транссибирской магистралиВ 1912 году, гимназистом выпускного класса, в Терийоках, Алперс познакомился с Всеволодом Мейерхольдом, который в 1913 году пригласил его в свою Студию на Бородинской улице.
В том же году Алперс поступил на юридический факультет Санкт-Петербургского университета. Окончив его в 1918 году, посвятил себя театральной деятельности. Два года Алперс был секретарем Студии на Бородинской, затем журнала «Любовь к трем апельсинам» , издаваемого Мейерхольдом.
В 1921 году Алперс работал в Петроградском театральном обществе и в Политпросвете, тогда же был директором Лиговского народного театра. Затем, до 1924 года, художественным руководителем Театра Новой драмы. Весной 1924 по приглашению Мейерхольда Алперс приехал в Москву и до 1927 года заведовал литературной частью в Театре Революции. Некоторое время состоял в ВКП(б).Литературную деятельность Борис Алперс начал в 1921 году; постоянно выступал в печати как театральный и литературный критик, занимался научной работой.C 1925 года Алперс вёл также педагогическую работу; с 1939 года он преподавал в ГИТИСе, — «элегантный в любую пору, недоступный и загадочный, с особым аристократическим вырезом губ» , по воспоминаниям его ученицы М. Строевой, в этот период Алперс уже склонялся к «рыцарскому донкихотству Станиславского» .
В 1937 году исключен из СП СССР за троцкизм, впоследствии восстановлен.
В 1949 году его не обошла стороной так называемая «борьба с космополитизмом» .Умер Борис Алперс в Москве 7 сентября 1974 года.