Алексей Алешин родился в семье военнослужащего 24 мая 1959 года в городе Ашхабаде, столице Туркменской ССР.
В 1970-е годы, в связи с новым назначением отца, семья переехала в Кемерово, где Алексей окончил среднюю школу.
В 1981 году окончил юридический факультет Кемеровского государственного университета по специальности «юриспруденция» , в 2002 году — факультет переподготовки и повышения квалификации Военной академии Генерального штаба Вооружённых сил Российской Федерации.Работал следователем прокуратуры города Ставрополя, Севастопольского района города Москвы, затем юристом в различных коммерческих, учебных, финансовых организациях. Имеет тесные отношения с Борисом Алешиным.
В 1996—1999 годах — заместитель генерального директора ГУП «Госзагрансобственность» .
С 1999 года трудовая деятельность Алексея Алешина связана со сферой военно-технического сотрудничества и оборонно-промышленным комплексом России.
В 1999—2000 годах — заместитель генерального директора ФГУП «Промэкспорт» .
В 2000—2007 годах — заместитель генерального директора ОАО «Рособоронэкспорт» , отвечал за правовые и кадровые вопросы, поставку запасных частей и инвестиции.
В 2007—2014 годах — первый заместитель генерального директора государственной корпорации «Ростехнологии» , занимался реформированием оборонной промышленности и других отраслей российской экономикиЯвляется членом Военно-промышленной комиссии при Правительстве Российской ФедерацииВозглавлял Советы директоров ОАО: «Российская электроника» , «Концерн «Радиоэлектронные технологии» » , «НПК „Технологии машиностроения“» , «Завод имени Дегтярёва» , «Российская корпорация средств связи» . Входит в Советы директоров ОАО: «Рособоронэкспорт» , «Вертолёты России» , «Системы управления» 13 января 2014 года Алексей Алешин назначен руководителем Федеральной службы по экологическому, технологическому и атомному надзору (Ростехнадзор).
В этом ведомстве ему предстоит, в первую очередь, заниматься проблемами организаций технического надзора в энергетике и металлургии, техническим регулированием, координацией работы с Минпромторгом и военно-промышленным блоком.