Родился 17 января 1962 года в Костроме.
В 1975 переезжает в Ленинград для учёбы в Средней художественной школе им. Б.Иогансона.
В 1989 году окончил Институт им. И.Е.Репина (факультет живописи проф. Е.Е. Моисеенко), Ленинград, в этом же году вступил в Союз художников России.
В 1991 году организует группу "ТУТ-И-ТАМ" (совместно c Н.Букреевой), которая проводит акции, выставки и перформансы в Санкт-Петербурге и Германии. Один из наиболее значимых проектов Костромы - концепция "INVENTORY/ Инвентаризация", в рамках которой производится нумерация природных объектов, среди которых, скорлупа, камни, капли дождя, листья, обугленное дерево, и пр.; а также разрушенных памятников культуры.C 1991 года формируется «Органическое мировоззрение» Костромы, впоследствии развившееся в философскую концепцию "ORGANIC WAY/ Органический путь".
В своём творчестве художник исследует взаимодействие природы и человека, проводит параллели между важнейшими процессами сосуществования индивидуума и социума. Формируются основные знаки: белое перо, скорлупа, жёлтый лимонный пигмент, цифры.
В это же время Кострома создаёт серию саморазрушающихся водных инсталляции, активно начинает работать со скорлупой, развивает идеи «интроспективных действий» и «оперения» . Белое перо – материал почти всех объектов, инсталляций и акций.
В 1994 году проходит ряд широкомасштабных акций "Оперение Имен и Символов": «Оперение Медного всадника» (макет), "Оперение пушки" в Петропавловской крепости, "Оперение шхуны Петр I" и др.
На выставке в Музее истории Санкт-Петербурга (1994) Кострома представил оперённые хрестоматийные произведения мирового искусства: "Мона Лиза" Леонардо да Винчи, "Черный квадрат" Казимира Малевича, «Фонтан» Марселя Дюшана, «Soup Campbell» Энди Уорхола, «Стул» И.Кошута, «Туалет» Ильи Кабакова и др.
В рамках философско-художественной концепции «Органический путь» , Кострома проводит исследования и пишет теоретические работы.
В проекте «Взгляд на солнце» , наблюдает за солнцем, изучает развитие цвета, отражающегося на сетчатке глаза, и разрабатывает теорию "Развитие цвета по спирали" (с 1997 по настоящее время); изучает физические закономерности концентрации и падения капель дождя (проект «Инвентаризация Желтого дождя» , 1998). Эти проекты создаются в сотрудничестве с научными институциями Российской Академии Наук.
В 2000-м году американский журнал «SCULPTURE» впервые опубликовал мировоззренческую концепцию Костромы в статье «Organic Ideology» .
С начала 2000-х гг. Кострома развивает концепт FIGURATIVE-NUMERICAL PAINTING (FNP System) /Фигуративно–цифровая живопись: новая система живописи, создаваемая цветными цифрами.
В 2003 году переезжает в Берлин на постоянное место жительства, где вскоре становится членом Союза художников Германии (2005) , активно выставляется в Европе и России.
В 2009 году совместно с женой Екатериной Кондраниной основывает в Берлине творческий союз STUDIO KOSTROMA. Пишутся теоретические работы “Corcscrew Theory. Color and Time”; “Napkin Theory. Expansion of the Universe”; «Time-Money-Figures Social System» ; «Malevich and Matyushin: Two Visionaries of the Russian Avant-Garde of the 20th Century» . Создается следующие новые серии: NANO; BILLS & DEBTS; CRACK PAINTING; TOP MODELS. Центральное место в творчестве художника занимает большеформатная живопись из серии «BLOT PAINTING» .Наиболее известными и зрелищными проектами Костромы стали «Цифровая Башня» (СПб, 1994), «Оперение кошелька» ( Badischer Kunstverein, Карлсруэ,1996); «Органический путь. Спираль пингвинов» (Музей Людвига в ГРМ, СПб, 1999); «Жизнь длиной 2000 метров. Волосяная хроника» (Музей артиллерии СПб, 2001); «Feathered Aggression» (Bass Museum of Art, Miami Beach, USA, 2008); «Feathered Chaos» (Berlin, 2010); «TIME OF PIGGY» (Berlin, 2016).
В Москве повышенное внимание публики вызвала работа UNO на выставке «Фантомные монументы» в Центре современной культуры «Гараж» (Москва, 2011). Светящийся шар (диаметром 5 метров), поверхность которого состояла из белых пластиковых пакетов, стал визуальной доминантой экспозиции. Проект был номинирован на Премию Кандинского (номинация «Проект года» , 2011).Работы Алексея Костромы находятся в коллекциях: Государственного Эрмитажа, Stedelijik Museum (Амстердам), Государственного Русского музея, Государственного музея истории Санкт-Петербурга, Мультимедиа Арт Музея, Москва, Государственной Третьяковской Галереи, Москва, Музея Органической культуры, Коломна, а также в частных коллекциях в России, Германии, Голландии, Бельгии, Великобритании, Франции и США.Живет и работает в Берлине.