Родился 15 (27 ноября) 1891 года в дер. Сорокино Кашинского уезда (ныне Кашинский район, Тверская область). Начал трудовую деятельность в Ленинграде на заводе «Электрик» , одновременно поступил на учебу в ЛЭТИ имени В. И. Ульянова (Ленина). Еще в студенческие годы, под руководством профессора Я. М. Гаккеля, им были спроектированы тяговые двигатели ПТ-100 для первого советского тепловоза. Затем участвовал в разработке конструкции первых советских тяговых двигателей для трамвая.После окончания института в 1925 году он работает заведующим отделом новых конструкций, а затем техническим директором ленинградского завода «Электрик» . Под руководством А. Е. Алексеева были разработаны первенцы советской энергетики: гидрогенераторы для Волховской, Земо-Авчальской, Рионской, Свирской ГЭС; крупнейшие в мире в те годы Днепровские гидрогенераторы, серии турбогенераторов до 50 МВт и другие крупные электрические машины, обеспечивающие выполнение плана ГОЭЛРО.
В 1932–1975 годах А. Е. Алексеев работает в ЛИИЖТ, консультируя по проектированию крупных электрических машин на заводе «Электросила» , а затем специалистов Новочеркасского и Тбилисского электровозостроительного заводов и других.
С 1936 года — профессор, заведующий кафедрой «Электрические машины» , а в 1943–1953 годах — декан энергетического факультета ЛИИЖТ. Доктор технических наук (1938) без защиты диссертации.
В годы Великой Отечественной войны А. Е. Алексеев руководил созданием автоматической рельсосварочной машины РКСМ-200-201. Серийный выпуск этой машины в 1945 году имел огромное значение для восстановления разрушенных железных дорог.
В послевоенные годы А. Е. Алексеев консультировал проекты тяговых электродвигателей для электровозов переменного тока. За высокую надежность тяговый двигатель НБ418К был отмечен присвоением Государственных знаков качества электровозам ВЛ80Т и ВЛ80Р.Под руководством А. Е. Алексеева созданы первые в СССР макетные локомотивы с асинхронными двигателями и частотным управлением. По результатам испытаний макетных образцов промышленностью были созданы опытный электровоз ВЛ80А-751 мощностью 9600 кВт и опытный тепловоз ТЭ-120-001 мощностью 4000 л.с.Член-корреспондент АН СССР (с 23 октября 1953 года) по отделению технических наук (электромашиностроение). Работал в институте ВНИИЭМ. Труды по электрическим машинам, электрической тяге.Умер 16 мая 1975 года в Ленинграде. Похоронен в посёлке Комарово (Ленинградская область).