Алескер Алекперов родился 15 ноября 1910 года, (по другим источникам — 26 марта) в Баку.
В 1927—1930 годах учился в Бакинском театральном техникуме.Сценическую деятельность начал в 1927 году в Бакинском Рабочем театре (ныне Азербайджанский государственный русский драматический театр имени Самеда Вургуна.
В 1930—1933 годах выступал на сценах Тифлисского азербайджанского и Гянджинского драматического театров, куда был переведён Бакинский Рабочий театр.
С 1933 года и до конца жизни — актёр Азербайджанского драматического театра имени М. А. Азизбекова, где его основными ролями были Отелло («Отелло» У. Шекспира) и Вагиф («Вагиф» С. Вургуна). Только роль Вагифа на сцене театра исполнил свыше 500 раз.Сниматься в кино начал в 1927 году, сыграв образ Гасана в художественном фильме «Дом на вулкане» (1928).Член ВКП(б) с 1944 года. Депутат ВС СССР 6 созыва.Скончался 31 января 1963 года. Похоронен на Аллее почётного захоронения в Баку.