В начале своей футбольной карьеры Темур Алекберов играл на позиции защитника в волгодонском «Атоммаше» , дубле харьковского «Металлиста» и киевском СКА.
В 1990 году он перешёл в ростовский СКА, где провёл три сезона, сыграв 112 матчей и забив 16 голов.После этого Темур принял решение перейти в мини-футбол. Немного поиграв в разных ростовских клубах, в 1993 году он переходит в московскую «Дину» .
В её составе он стал семикратным чемпионом России и пятикратным обладателем кубка, трёхкратным победителем Турнира Европейских Чемпионов и обладателем Межконтинентального кубка.
В сезоне 1996—97 Темур признавался лучшим игроком в мини-футбол России, а в сезонах 1994—95, 1995—96, 1996—97 и 1997—98 — лучшим защитником. После «Дины» он играл в «ТТГ-Яве» и «Норильском никеле» , а в 2006 году завершил свою игровую карьеру.Вместе со сборной России по мини-футболу Темур стал чемпионом Европы 1999 года. Также он дважды становился призёром европейского первенства, а в 1996 году участвовал в завоевании россиянами бронзы чемпионата мира.
В 2006 году Темур перешёл на тренерскую работу. Возглавив «Тюмень» , он дважды улучшил наивысший результат клуба в чемпионатах России, заняв в сезонах 2006-07 и 2007-08 шестое и четвёртое место соответственно.
В июне 2008 года он возглавил щёлковский клуб «Спартак-Щёлково» , а сезоном спустя — новосибирский «Сибиряк» .