Алексей Аксёнов родился 18 сентября 1960 года в Москве в семье Василия и Киры Аксёновых.
В 1983 году Алексей окончил художественный факультет ВГИКа (мастерская В. Кислых и Л. Платова).
С 1985 год работал на киностудии «Мосфильм» . Сначала как художник-декоратор, а потом уже в качестве художника-постановщика. Первой работой в этом качестве для него стал фильм Михаила Козакова «Визит дамы» . Его работа была удостоена положительных отзывов критики.[источник не указан 52 дня] После этого работал совместно с режиссёром Николаем Досталем над фильмом «Облако-Рай» (1991).
В том же году вышел телефильм Михаила Козакова «Тень, или Может быть всё обойдётся» , в работе над которым принимает участие Аксёнов.
В 1993 году получил приглашение от Эльдара Рязанова для работы над фильмом «Предсказание» . После этого на некоторое время уходит из кино.
С 1993 по 1999 годы работал в агентстве «Видео Интернейшнл» . Принимал участие в создании около 200 рекламных роликов. Многие из них были отмечены призами международных фестивалей. Также работал над студийной декорацией к передаче «Диалоги о животных» в виде избушки егеря, которая использовалась в 1997—2011 годах.
В 2001 году состоялось его возвращение в кино. Аксёнов работал арт-директором сериала «Московская сага» , снятого по роману его отца.