Был младшим из шести детей в семье агронома Федора Ивановича, мать происходила из обелневших дворян. Вскоре после рождения Андрея семья переезжает в Казань. Андрей Фёдорович оканчивает здесь гимназию и поступает на медфак Казанского университета. По получении диплома врача работал ординатором и сверхштатным ассистентом в детской клинике у профессоров П. М. Аргутинского и В. К. Меньшикова.
В 1914—1917 г.г. — военврач на полях Первой мировой войны. После Февральской революции возвращается в Казань, с 1919 г. по рекомендации професоора В. С. Груздева становится штатным ассистентом детской клиники.
В 1918 г. возглавил Первую городскую детскую больницу, перепрофилированную впоследствии в 1-ю инфекционную больницу, и был её главным врачом до своей смерти. Ныне больница носит его имя (с 1946 года), на фасаде её по решению правительства Республики Татарстан установлена мемориальная доска в его память.
В декабре 1927 г. становится заведующим кафедрой инфекционных болезней Казанского ГИДУВа, в 1928 г. — приват-доцентом, а 1931 г. — профессором этой кафедры.
С 1931 г. по совместительству преподаёт в КГМИ, где с 1933 г. профессор и зав. кафедрой детских инфекций.Являлся заместителем Наркома здравоохранения ТАССР (1939), директором Центрального педиатрического института МЗ РСФСР (с июля 1943 г. по апрель 1944 г.).Прах захоронен на Арском кладбище.
В 1935 г. утвержден Наркомздравом РСФСР в ученой степени доктора медицинских наук и в звании профессора.Проф. А. Ф. Агафоновым подготовлено 3 доктора и 6 кандидатов медицинских наук.Избирался депутатом Верховного Совета РСФСР I созыва от Казанского-Молотовского избирательного округа Татарской АССР (1938—1947).Был депутатом Казанского городского Совета 4-х созывов (1931—1941).Сын Алексей Андреевич Агафонов, также профессор.Автор около 20 научных работ.Примечания http: //old.kazangmu.ru/ubi/index.phpoption=com_content&view=article&id=44: agafonofaf&catid=6: uface&Itemid=45 http: //prav.tatarstan.ru/docs/post/post1.htmpage=247&pub_id=52852 http: //history-kazan.ru/kazan-vchera-segodnya-zavtra/kazanskij-nekropol/arskoe-kladbishche/16587-professor-meditsiny-andrej-fjodorovich-agafonov http: //www.kgmu.kcn.ru/ubi/index.phpoption=com_content&view=article&id=361: 2012-11-12-11-39-42&catid=6: uface&Itemid=45 http: //opentextnn.ru/history/rushist/sovigu/vlast/id=3284