Сын военного. Учился в Оренбургской (Уфимской) гимназии, с 1865 по 1869 год обучался на историческом отделении Новороссийского университета в Одессе.Будучи студентом принимал активное участие в общественной жизни. Был одним из руководителей студенческого кружка, попал в списки «неблагонадежных» . По окончании университета в 1869 году был оставлен в университете для приготовления к профессорскому званию по кафедре всеобщей истории, позже — приват-доцент кафедры всеобщей истории (1884) Новороссийского университета. Преподавал историю в одной частных одесских женских гимназий.Доктор всеобщей истории по подозрению в «неблагонадежности» подвергался травле. Так и не стал профессором.
В 1894 году переехал в Киев и стал директором (управляющим) конторой Государственного банка. Благодаря его стараниям, в 1905 г. по проекту архитектора Вербицкого и инженера Кобелева было построено новое здание банка в Киеве. Являлся бессменным директором Киевского банка до конца 1918 года.Работая директором банка, Афанасьев также возглавил Товарищество взаимного кредита, открыл в Киеве коммерческое училище и гимназию, занимался благотворительной деятельностью, в частности, в области здравоохранения. Главным предметом исследований ученого была Франция. Отдельным страницам её истории он посвятил свою магистерскую («Главные моменты министерской деятельности Тюрго» (Одесса, 1884)) и докторскую диссертации («Условия хлебной торговли во Франции в конце XVIII века» , 1892), для которых собрал ценные материалы в архивах Парижа.
В 1892 году вышла объемная (более 500 стр.) книга Е. Афанасьева «Условия хлебной торговли во Франции в конце XVIII века» .
В докладе во Французской академии наук видный французский историк П. Левассёр заявил: «Этот труд, выполненный иностранцем, …делает большую честь его автору и будет, несомненно, полезен всем тем, кто будет заниматься экономической историей XVIII в.» .Почти одновременно с русским изданием книга вышла в переводе на французский. Когда создавалась коллекция «История Европы по эпохам и странам» в издательстве знаменитых энциклопедистов Брокгауза и Ефрона, Афанасьеву предложили написать книгу «История Ирландии» (увидела свет в 1907 году).
В 1908 г. опубликовал книгу «Исторические и экономические статьи» в нескольких томах.Исследования ученый сочетал с чтением публичных лекций на различные темы.