Александр Абросимов родился 9 августа 1962 года в Брянске.
В 1986 году окончил лечебный факультет Смоленского государственного медицинского института по специальности «Лечебное дело» .
В 1986—1988 годах учился в клинической ординатуре по специальности «Патологическая анатомия» в Научно-исследовательском институт медицинской радиологии Академии медицинских наук СССР (НИИМР АМН СССР) в Обнинске. После окончания ординатуры был оставлен в лаборатории патологической анатомии и последовательно на конкурсной основе занимал в НИИМР АМН СССР (с 1992 года — Медицинский радиологический научный центр [МРНЦ] Российской академии медицинских наук, затем — Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации, затем — Министерства здравоохранения Российской Федерации) должности старшего лаборанта, младшего научного сотрудника, научного сотрудника, старшего научного сотрудника и ведущего научного сотрудника.
В 1993 году защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата медицинских наук на тему «Некроз и апоптоз клеток саркомы М-1 до и после облучения опухоли» .
В 2004 году защитил диссертацию на соискание учёной степени доктора медицинских наук на тему «Рак щитовидной железы у детей и подростков России после аварии на Чернобыльской АЭС (проблемы диагностики и верификации диагноза, морфологическая характеристика)» .
В 2005—2006 годах работал на должности приглашенного профессора Университета Нагасаки (Япония).
В 2007—2010 годах занимал должность заведующего лабораторией патоморфологии ФГУ Эндокринологического научного центра (ЭНЦ) Росмедтехнологий (Москва).
В 2010 году Александру Абросимову присвоено ученое звание профессора по специальности «Патологическая анатомия» .
В 2010 году Абросимов был избран по конкурсу на должность заведующего клинико-морфологическим отделом и лабораторией патологической анатомии с прозектурой МРНЦ.
С 2014 года — заведующий отделом фундаментальной патоморфологии ЭНЦ.