Родился 6 января 1938 года в Латвии. Латыш. Получил неполное среднее образование. Работать в колхозе начал в 15-летнем возрасте.Окончил курсы трактористов, после чего с 1958 года осуществлял трудовую деятельность в колхозе «Пекуле» Добельского района Латвийской ССР.
В 1970 году вступил в КПСС. Трудовые достижения А. Р. Абомса в период выполнения восьмого пятилетнего плана развития народного хозяйства СССР получили высокую профессиональную оценку. 8 апреля 1971 года награждён орденом Ленина.Указом Президиума Верховного Совета СССР от 12 декабря 1973 года за большие успехи, достигнутые во Всесоюзном социалистическом соревновании, и проявленную трудовую доблесть в выполнении принятых обязательств по увеличению производства и продажи государству зерна, картофеля, сахарной свеклы и других продуктов земледелия в 1973 году Абомсу Андрису Робертовичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот» .
С 15 июня 1975 года избран депутатом Верховного Совета Латвийской ССР от Бенского избирательного округа Добельского района. Входил в состав 9, 10 и 11 депутатских созывов.Дальнейшую жизнь провёл Добельском крае.Умер в 1992 году.