В 1935 году окончил колледж в Вашингтоне. Начиная с 1939 года — за исключением 1941—46, когда он принимал участие в Манхэттенском проекте, — Абельсон работал в Технологическом институте Карнеги, в том числе в 1953—71 в качестве директора геофизической лаборатории, а в 1971—78 — президента института.
С 1962 года по 1984 год был редактором журнала Science.
В 1972—74 годах президент Американского геофизического союза.Член Американской академии искусств и наук (1958), фелло Американского физического общества (1949). Работы Абельсона посвящены ядерной физике, ядерной химии, органической геохимии, биофизике, микробиологии, проблеме возникновения жизни. Вместе с Э. Макмилланом считается пионером в исследовании трансурановых элементов.
В 1940 году они открыли первый такой элемент — нептуний.
В работах учёного также обсуждаются вопросы деления ядра, идентификации продуктов деления урана, разделения изотопов урана.
В частности, в 1940 году им был предложен метод термодиффузии для разделения урановых изотопов. Стоит отметить также работы по биосинтезу микроорганизмов, аминокислотам в окаменелостях и горных породах.