Родился 10 сентября 1907 года в селе Эдилли Джебраильского уезда Елизаветпольской губернии (ныне Ходжавендский район Азербайджана/село Ухтадзор Гадрутского района непризнанной НКР).Участник Великой Отечественной войны.Начал трудовую деятельность в 1932 году в колхозе имени Касумяна Гадрутского района Нагорно-Карабахской автономной области.
С 1975 года — рабочий виноградарского совхоза «Дружба» НКАО Азербайджанской ССР.
В 1949 году получил урожай в 116,8 центнеров винограда с 3,1 гектара виноградников. Применял новые научные методы селекции высокоурожайных сортов.Указом Президиума Верховного Совета СССР от 8 августа 1950 года за высокие урожаи винограда в 1949 году Абаляну Александру Мелкумовичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот» .Активно участвовал в общественной жизни Азербайджана. Член КПСС с 1936 года.Скончался в 1982 году в родном селе.