Родился в селе Тёплое Чернского уезда Тульской губернии в семье служащего лесной конторы.Отец, Алексей Дмитриевич, был младшим приказчиком у лесопромышленника, мать — Любовь Георгиевна.Его старший брат — известный советский экономист Александр Вознесенский.
В 1919—1920 годах возглавлял Чернскую уездную комсомольскую организацию.
В 1920 году был выдвинут в Тульский губернский комитет комсомола, возглавлял планово-финансовый отдел.
В 1925 году стал главным редактором Тульской областной газеты «Молодой коммунар» .
В 1921 году был направлен на учёбу в Коммунистический университет имени Я. М. Свердлова, который окончил в 1924 году и был направлен на работу в Донбасс, работал в Енакиево и Артёмовске.
В 1928 году Вознесенского направили на учёбу в экономический Институт красной профессуры, готовивший преподавательские кадры.
С 1931 года он сам преподаёт там.
С начала 1930-х годов начали появляться его работы, посвященные аспектам экономической политики советской власти.
В 1935 году защитил диссертацию и ему была присуждена учёная степень доктора экономических наук.Работал в ЦКК РКИ.
В 1934—1939 гг. член Комиссии советского контроля при СНК СССР.
С февраля 1934 года — уполномоченный КСК по Донецкой области.
В 1935—1937 годах председатель Ленинградской городской плановой комиссии и заместитель председателя исполкома Ленгорсовета.
В ноябре 1937 года он был назначен заместителем председателя Государственной плановой комиссии при Совнаркоме СССР.
С 19 января 1938 по 10 марта 1941 и с 8 декабря 1942 по 5 марта 1949 годы председатель Государственной плановой комиссии при Совнаркоме (Совмине) СССР.
С 4 апреля 1939 года заместитель, с 10 марта 1941 года 1-й заместитель председателя Совнаркома СССР.
На этой должности он, как указывает д-р ист. наук О. В. Хлевнюк, «выполнял основную часть работы в правительстве» .
В 1938—1950 годах являлся депутатом Верховного Совета РСФСР по Ефремовскому избирательному округу.
В эти годы он неоднократно посещал Ефремов, оказывал значительную помощь в строительстве и восстановлении города и Ефремовского завода синтетического каучука после войны.
В годы Великой Отечественной войны был членом Государственного Комитета обороны (ГКО) и членом комитета при СНК СССР по восстановлению хозяйства в районах, освобождённых от немецко-фашистских оккупантов.Сразу после войны включён в состав Специального комитета при ГКО — для упрощения снабжения проекта.Для этого ему было поручено организовать управление № 1 Госплана, которое возглавил Н. А. Борисов, по указанию ГКО освободив Борисова от другой работы по Госплану и ГКО.
В 1945 году Н. А. Вознесенский вошёл в состав комиссии под руководством А. И. Микояна (Вознесенский, И. Г. Кабанов, Б. Л. Ванников, А. П. Завенягин, Н. А. Борисов), которой было поручено курировать обеспечение ногинского завода № 12 (нынешнее ОАО «Машиностроительный завод» , Электросталь) оборудованием для плавки урановой руды.Этот завод был обеспечен вакуумными высокочастотными электропечами советского производства, за счёт вывоза из Германии и закупки по импорту; в этих печах выплавлялись урановые стержни для реактора Ф-1.
В том же 1945 году Н. А. Вознесенскому было поручено совместно с НКАП рассмотреть вопрос об использовании металлургического оборудования, вывозимого из Германии, на завод № 261 в Новоуральске.
В 1946 году на площадке строительства завода № 261 началось сооружение газодиффузионного завода, носившего название Комбинат № 813 (завод Д-1) и предназначенного для производства высокообогащенного урана.Завод дал первую продукцию в 1949 г.
С 21 февраля 1941 года был кандидатом в члены, а с 26 февраля 1947 года стал членом Политбюро ЦК ВКП(б). 27 сентября 1943 года был избран действительным членом АН СССР по Отделению экономики и права.
В 1947 году опубликовал монографию «Военная экономика СССР в период Отечественной войны» за которую был удостоен Сталинской премии первой степени (1948). Л. Ф. Ильичёв в выступлении на XXII съезде КПСС отмечал: «Книгу эту ещё в рукописи прочитал с карандашом в руках Сталин и сделал свои пометки и даже некоторые вставки» . Впоследствии она была объявлена антимарксистской.
В марте 1949 в связи с «ленинградским делом» снят со всех постов, 7 марта снят с поста заместителя председателя Совета министров СССР и выведен из состава Политбюро ЦК, в сентябре этого же года опросом исключён из состава ЦК ВКП(б). 27 октября 1949 арестован, ночью 30 сентября 1950 осуждён к исключительной мере наказания по Ленинградскому делу. Через час после вынесения приговора был расстрелян. По некоторым свидетельствам — не был расстрелян, а замёрз в пути, в арестантском вагоне. Реабилитирован 30 апреля 1954 года. КПК при ЦК КПСС подтверждено членство в партии.