Родился 23 марта 1876 года в селе Алексеевском Томской губернии.Окончил духовную семинарию, затем — юридический факультет Томского университета (в 1903 году).Трудовую деятельность начал в 1903 году в Томском окружном суде.
В 1904—1922 годах работал контролёром, ревизором и инспектором на железных дорогах. По собственному желанию оставил службу и профессионально занялся музыкой.
В 1914—1916 годах обучался в Петербургском музыкальном институте.
В 1922—1925 годах был дирижёром-хормейстером томской оперы и новосибирской оперетты.
В 1925—1931 годах — заведующий Томским музыкальным техникумом, в котором преподавал в оркестровом и хоровом классах, а также вокального ансамбля.
В Томске Виссонов работал также регентом в одном из соборов города. Имея регентское образование, он написал несколько церковных песнопений. Так хором Томского кафедрального собора исполнялись его песнопения — «От юности моея» , «Приидите поклонимся» и «Плотию уснув» .
В 1931—1935 годах Леонид Виссонов — дирижёр-хормейстер новосибирской и иркутской оперетты, краевого радиокомитета в Новосибирске.
С 1935 года он работал дирижёром-хормейстером Пермского театра оперы и балета, с 1941 года — его главный хормейстер.
В сентябре 1941 года, когда в связи с приездом Ленинградского театр оперы и балета имени С. М. Кирова (ныне Мариинский театр) Пермский театр был временно расформирован, Л. Н. Виссонов, как дирижёр-хормейстер вошёл в оперный ансамбль областного концертно-эстрадного бюро, которому 1 ноября этого же года был придан статус Театра оперы и балета. Виссонов приказом областного отдела искусств был назначен на должность главного хормейстера театра, работая практически и как дирижёр, и как руководитель созданного для концертных выступлений струнного квартета.
С 18 ноября 1941 года театр работал в Пермском крае, дав около 700 спектаклей и около 300 концертов в рабочих клубах и колхозах.
В июне 1944 года театр вернулась в областной центр. Началось доукомплектование его труппы и работа под руководством нового директора — С. Г. Ходеса и главного дирижёра — А. А. Людмилина. Л. Н. Виссонов до конца своей жизни продолжал работу в театре в должности главного хормейстера, обеспечивая деятельность хора и дирижируя, в случае необходимости, оперными спектаклями. Был награжден орденом «Знак Почета» (1946).Умер 20 июня 1958 года в Перми. Был похоронен на Егошихинском кладбище города.