Родился в семье военного врача Рудольфа Вениаминовича Вишневского (1909—1970) и Юлии Львовны Брейман (1910—). Дед, Лев Яковлевич Брейман (1886—1938, расстрелян), уроженец Каменца-Подольского, был известным в городе адвокатом, редактором журнала «Вся Одесса» ; бабушка — Адель Юльевна Брейман (—1947) — также была юристом. Отец, будучи начальником лазарета 2-й отдельной механизированнойя бригады ДВК в Приморской области, во время рождения сына находился под арестом, но через год был освобождён, служил начальником прифронтовых госпиталей во время Великой Отечественной войны, а в 1945 году был назначен начальником госпиталя в Пушкине, где прошло детство Ю. Р. Вишневского.
В 1952 году отца перевели в Благовещенск (где он был гравврачом Амурского областного кожно-венерического диспансера и заведовал курсом дерматовенерологии в Благовещенском медицинском институте), куда переехала вся семья, а в 1959 году — в Нижний Тагил. Мать работала медсестрой. Брат — Анатолий Рудольфович Вишневский (род. 1932), инженер, изобретатель в области металлургического производства и сталелитейного дела, научный сотрудник Уральского НИИ металлов. Сын — Сергей Юрьевич Вишневский, кандидат философских наук, доктор социологических наук, профессор кафедры социологии и социальных технологий управления УрФУ имени Первого Президента России Б. Н. Ельцина.
В 1960 году окончил историко-филологический факультет Благовещенского государственного педагогического института имени М. И. Калинина по специальности «учитель русского языка, литературы и истории» .
В 1960—1963 годы работал учителем истории и обществоведения в школе рабочей молодёжи в Нижнем Тагиле.
В 1963—1982 годы преподавал марксистско-ленинскую философию в Нижнетагильском государственном педагогическом институте.
В 1976 - 1981 годы — декан художественно-графического факультета в Нижнетагильском государственном педагогическом институте.
В 1968 году защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата философских наук по теме «Изучение культурного уровня рабочей молодёжи как социологическая проблема» .
В 1981 году защитил диссертацию на соискание учёной степени доктора философских наукВ 1982—2009 годы — профессор и заведующий кафедрой научного коммунизма, переименованной в 1987 году в кафедру актуальных проблем социализма, в 1988 году — в кафедру социологии и политологии, а впоследствии в кафедру социологии и социальных технологий управления Уральского государственного технического университета, с 2009 года по настоящее время — профессор и заведующий кафедрой социологии и социальных технологий управления Уральского федерального университета имени первого Президента России Б. Н. Ельцина.
В 2001—2006 годы — председатель Совета по защите кандидатских диссертаций при УГТУ-УПИ, а также член Совета по защите докторских диссертация при УрГУ.Вице-президент Российского общества социологов.Бессменный председатель организационного комитета «Уральских социологических чтений» . Действительный член Академии гуманитарных наук и Международной педагогической академии. Эксперт Государственного Совета РФ по молодёжной политике. Автор концепций УГТУ-УПИ по гражданскому и патриотическому воспитанию студентов и внеучебной работы в вузе.Подготовил 2 докторов наук и 30 кандидатов наук.Автор 500 научных работ, включая 24 монографии.