Вильгельм Виртингер родился в Ибсе-на-Дунае.
Он окончил Венский университет, где в 1887 году получил степень доктора философии по математике. Его научным руководителем был Эмиль Вейр[en].
В юности Виртингер путешествовал по Германии, и прошёл обучение в Берлинском университете имени Гумбольдта и Гёттингенском университете.
В 1890 году он был повышен до хабилитированного доктора.
В 1895 году Виртингер занял должность профессора в Венском университете, но в том же году перевёлся в Инсбрукский университет имени Леопольда и Франца.
В 1896 году учёный опубликовал работу о -функции, получившую положительную реакцию у ведущих математиков мира.
В 1905 году Виртингер вернулся в Венский университет.
В 1907 году он был удостоен Медали Сильвестра, вручаемой Лондонским королевским обществом за выдающиеся заслуги в области математики.
В 1931 году учёный вступил в Баварскую академию наук.Виртингер опубликовал за свою жизнь большое количество работ (согласно статье Ганса Гонриха, их было 71), затрагивающих различные разделы математики. Так, предметами его исследований были алгебра, теория чисел и элементарная геометрия.
В своих лекциях учёный много внимания уделял историческому контексту развития математики, а также интересовался её философскими основаниями. Среди учеников Виртингера были много людей, впоследствии ставших признанными учёными: Вильгельм Бляшке, Леопольд Фиторис, Эдуард Хелли, Ольга Таусски-Тодд, Курт Гёдель, Альфред Бергер[de], Хильда Гайрингер[de], Ганс Гонрих[de] и Карл Штрубекер[de][].Вильгельм Виртингер умер в 1945 году в Ибсе-на-Дунае.