Его отец, Фриц Виндгассен, был тенором Штутгартской государственной оперы и, позднее, профессором Высшей музыкальной школы Штутгарта. Мать, Валли ван Остен, была известной певицей-сопрано (равно как и её сестра, Ева фон дер Остен).Вольфганг Виндгассен сначала был техническим сотрудником Штутгартской государственной оперы. Обучался пению у отца и в Высшей музыкальной школе Штутгарта.
В 1939 году дебютировал в Пфорцхайме в партии Пинкертона в опере Пуччини «Мадам Баттерфляй» .
В 1945 году был приглашён в Штутгартскую государственную оперу, солистом которой оставался до самой смерти.Вскоре Виндгассен приобрёл славу прежде всего вагнеровского певца.
В 1951—1970 годах он регулярно участвовал в вагнеровском фестивале в Байройте где исполнял все партии для своего типа голоса.
В 1967 году стал почётным гражданином Байройта.Участвовал в первой студийной записи «Кольца Нибелунга» под управлением сэра Георга Шолти.Гастролировал в Вене, Лондоне, Милане, Париже, Буэнос-Айресе, Нью-Йорке и многих других городах.
С 1970 года работал также как оперный режиссёр.
В 1972—1974 годах был художественным руководителем Штутгартской государственной оперы, где, в частности, поставил «Бориса Годунова» .Был женат на сопрано Лоре Виссман.