Родился в словацком городе Трнава, где и работал в 1936—1940 годах.
В 1942 году в рамках депортации евреев отправлен в Освенцим. Бежал оттуда 7 апреля 1944 года.После побега Ветцлер и его сообщник, Рудольф Врба, составили отчёт на 32 страницах, содержавший сведения о масштабе уничтожения евреев, а также чертежи концлагеря Освенцим. Этот отчёт стал первой публикацией о Холокосте, получившей широкую международную известность в странах антигитлеровской коалиции и в нейтральных странах.После войны под псевдонимом «Йозеф Ланик» опубликовал историю своего пребывания в Освенциме под заголовком «Освенцим, могила четырёх миллионов людей» , куда включил как факты из своего отчёта, так и собранные им позднее свидетельства выживших и сторонних наблюдателей. Позднее написал на этой же основе художественное произведение «Чего не видел Данте» . Ветцлер, однако, был менее известен в отличие от своего напарника, Рудольфа Врбы, который после войны вёл активную общественную деятельность.После войны работал редактором (1945—1950), позднее переехал в Братиславу (1950—1955), затем на сельскохозяйственную ферму (1955—1970).
В 1970 году ушёл на пенсию по состоянию здоровья. Умер в Братиславе в 1988 году.