Макс Версе родился 15 марта 1877 года в Крефельде; он изучал медицину в Бонне, Лейпциге и Йене.
В 1903 году в Лейпцигском университете Версе получил степень кандидата медицинских наук, а в 1907 — защитил докторскую диссертацию по общей патологии и патологической анатомии в том же, Лейпцигском, университете. После этого, с 1913 по 1918 год он являлся экстраординарным профессором в Лейпциге.
С 1918 по 1923 год Макс Версе возглавлял Институт патологии в больнице «Вестенд» (Westend) в Берлине; кроме того, в тот же период, он возглавлял Академию социальной гигиены при Государственной академии общественного здравоохранения (Sozialhygienischen Akademie zur Staatsakademie des offentlichen Gesundheitsdienstes).
С 1923 года Версе являлся профессором общей патологии в Марбургском университете; в этом же ВУЗе он в 1930/1931 учебном году занимал пост ректора, а в 1932/1933 — был деканом.
В 1930 году Макс Версе был избран членом общества Леопольдина. 11 ноября 1933 года он был среди более 900 ученых и преподавателей немецких университетов и вузов, подписавших «Заявление профессоров о поддержке Адольфа Гитлера и национал-социалистического государства» .
С 1934 года Версе был «спонсирующим членом» СС (Forderndes Mitglied der SS), а также входил в Национал-социалистический союз учителей (NS-Lehrerbund) и организацию «Национал-социалистическая народная благотворительность» (Nationalsozialistische Volkswohlfahrt, NSV).