Родился 21 декабря 1910 года в деревне Сопки Тверской губернии.Окончил Новгородский педагогический техникум, затем Ленинградский государственный педагогический институт имени Герцена.
С 1935 года — директор средней школы города Апатиты.
В 1937 году был снят с должности за родственные связи с «врагами народа» , однако добился восстановления;С 1939 года — директор школы в городе Полярный. Член ВКП(б) с 1941 года.
В годы войныУчастник Великой Отечественной войны, принимал участие в боевых действиях в Северной Карелии, Свирско-Петрозаводской и Восточно-Прусской наступательных операцийНа фронте с августа 1941, начинал как лейтенант, помощник начальника штаба Отдельного Мурманского стрелкового полка Мурманской стрелковой бригады (в октябре 1941 — 5-й стрелковой бригады), с октября 1941 — 1044-го полка 289-й стрелковой дивизии 32-й армии Карельского фронта на Кестеньгском и Масельгском направлениях.
С 1944 года — начальник оперативного отделения штаба 176-й Мазурской Ордена Суворова II степени дивизии 31-й армии 3-го Белорусского фронта.
В 1945 году — начальник отдела штаба советской зоны оккупационных войск в Австрии. Подполковник.После войныВ 1947—1959 и 1964—1966 годах — директор школы № 1, в 1959—1964 годах — заведующий городским отделом народного образования города Североморска.А. А. Верещагин был первым директором первой школы города — школы № 1 — в октябре 1947 года несколько домов посёлка Ваенга (будущий город Североморск) были предоставлены под школу, в неё привозили учиться детей со всех ближайших посёлков.Умер 19 января 1996 года в деревне Турны Тверской области.