Родился 22 октября 1874 года.Во время обучения на медицинском факультете Харьковского университета присоединился к революционному движению. Поэтому, после окончания в 1899 году университета его отправили в далекую глубинку — село Аркадак Саратовской губернии, где Вейсброд работал врачом. Спустя 3 года (1902) он переехал в малоизвестную слободу Новопсков, где продолжил заниматься врачебной практикой. Также он продолжал революционную деятельность и по этой причине в 1903 году был вынужен выехать за границу.
С 1903 по 1906 год он вёл медицинскую практику в Австро-Венгрии. Возвратился в Россию в 1906 году уже будучи членом РСДРП. После возвращения стал работать ординатором 1-й Градской больницы в Москве, позже работал на Высших женских курсах.
В 1917 году он стал комиссаром больничных учреждений.
В 1918 году году Б. С, Вейсброд был избран главой комиссии Красного Креста по эвакуации заключенных из Австро-Венгрии. Имел тесные дружеские отношения с В. И. Лениным. После нападения на Ленина — первый его доктор. Одновременно — и доктор Тимирязева. После смерти Владимира Ильича — член комиссии по его вскрытию и бальзамированию. Его подпись стоит под патологоанатомическим актом.
В 1919—1920 годах являлся руководителем чрезвычайной комиссии по борьбе с эпидемиями на Туркестанском и Южно—Западном фронтах.
В 1922 году Вейсброд был избран главным врачом 2-й Городской больницы в Москве, которая с 1924 года носит его имя и за период 1924—1928 годов значительно расширена и улучшена.
В том же 1922 году Вейсброд был избран профессором 2-го Московского государственного университета на кафедру параллельной госпитальной хирургической клиники, а с 1924 года — директором пропедевтической хирургической клиники того же университета. Всё время состоит членом Государственного учёного совета и членом немецкого Общества хирургов.
С 1922 года — профессор и директор факультета хирургической клиники 2-го Московского государственного мединститута.
В период с 1924 по 1929 годы — член Минсоцтруда. Борис Соломонович был одним с организаторов неотложки в Москве.
В 1924 году он был избран председателем Центрального бюро Врачебной секции союза Медсантруд, в качестве какового неоднократно проводил съезды в Белоруссии, на Украине и в других союзных республиках, а также являлся энергичным защитником улучшения быта участкового врача.За свою деятельность в 1934 году был награждён орденом Ленина. Во время советско-финской войны (1939—1940) добровольцем пошёл на фронт. Руководил отделом хирургической помощи на передовой, за что был награждён орденом Красной Звезды.
В октябре 1941 года бежал во время паники из Москвы на легковом автомобиле, нагрузив его продуктами, в Омск, где восстанавливал учебный процесс на базе эвакуированного 2-го Московского государственного мединститута.Умер Борис Соломонович от аппендицита 8 июня 1942 года и был похоронен на Казачьем кладбище города Омск.
В 1961 году в связи с ликвидацией Казачьего кладбища его прах был перезахоронен на Старо-Восточном кладбище Омска.