А. М. Вейн родился в 1928 году в семье московского врача.
В 1951 году защитил диплом врача с отличием во 2-м МОЛГМИ им. Н. И. Пирогова (ныне РНИМУ им. Н. И. Пирогова). Был распределен в областную больницу Вологды, где проработал в течение трёх лет в должностях врача-невропатолога, заведующего отделением и главного врача.По возвращении в Москву поступил в ординатуру в Центральный институт усовершенствования врачей к крупнейшему неврологу и нейрофизиологу, организатору науки и медицины, действительному члену АМН и члену-корреспонденту АН СССР Николаю Ивановичу Гращенкову.После окончания ординатуры Александр Моисеевич был приглашен на работу Н. И. Гращенковым в лабораторию нейрогуморальных регуляций. Здесь родилась отечественная научная сомнология: под руководством A. M. Вейна и Л.П. Латашa. Здесь проводились эксперименты, которые при той власти были затруднены.Эксперименты были по обучению и состоянии памяти во сне, влияния дневного стресса на последующий ночной сон, субъективной оценки времени во сне, а также различных форм патологии сна при нарколепсии, инсомнии, сосудистых поражениях и опухолях мозга, и пр.За эти годы Александр Моисеевич Вейн прошел путь ученого от младшего научного сотрудника до заведующего лабораторией в 1966 г.
В 1959 году он защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата медицинских наук, а 1964-м — стал доктором медицинских наук.Через несколько лет (в 1970 г.) под предлогом реорганизации лаборатории он был освобожден от руководства ею.
Он и несколько его преданных сотрудников и учеников Вейн А. М. были вынуждены уйти из лаборатории и АН СССР. Министр здравоохранения СССР того времени академик Б. В. Петровский своим приказом перевел группу А. М. Вейна в подведомственный ему Научно-исследовательский центр 1-го Московского медицинского института им. И. М. Сеченова (Московская медицинская академия им. И. М. Сеченова, ныне — Первый Московский государственный медицинский университет им. И.М. Сеченова), где Вейн А. М. организовал и возглавил отдел патологии вегетативной нервной системы.Вейн организовал кафедру нервных болезней и на посту её руководителя оставался до конца своих дней, сохранив два основных направления научной и клинической работы: вегетативная патология, а также физиология и патология сна человека.А. М. Вейна отличал широкий кругозор. Кроме неврологии, сомнологии его научный интерес распространялся и на другие области медицины, в частности, на гастроэнтерологию.