Родился в семье художника Иоганна Фридриха Вейча и Анны Штоп. Кроме Фридриха Георга, в семье воспитывался младший брат Иоганн Антон Август, в будущем тоже художник.Учился у отца.
С 1776 года продолжил обучение живописью у Иоганна Генриха Тишбейна Старшего в Касселе. После учёбы в Дюссельдорфской академии художеств, в 1783 году работал в Брауншвегской мануфактуре семьи Штобвассер по производству лаковой росписной посуды.
В 1784—1787 годах проживал за границей, в Амстердаме, затем учился в Италии: в Риме, Неаполе и Флоренции. По возвращении на родину был приглашён герцогом Карлом Вильгельмом Фердинандом Брауншвейгским на работу придворным живописцем. Под покровительством герцога работал над копиями портретов в летней резиденции герцогов в замке Зальцдалум и писал портреты членов семьи герцога.
В 1794 году избран членом Берлинской Академии искусств.
В 1795 году переехал в Берлин.
С 1797 года после смерти Бернхарда Роде преподавал историю живописи в Академии и в 1798 году избран ректором института.
В том же году был назначен Королевским придворным живописцем.
С 1794 года был женат на Элизабет Кристиан Шредер. Брак бездетный.
Карта сайта
