Родился 6 апреля 1837 года в деревне Эраствере волости Канепи, неподалеку от Выру в Ливонии, в семье бедного деревенского сапожника.
В детстве был пастухом, пас скот у соседей и на мызе, а дома вырезал из дерева фигурки животных. Отправившись на заработки, батрачить на баронскую мызу, будущий зодчий впервые на фамильном баронском кладбище увидел настоящую мраморную скульптуру в виде скорбной женской фигуры.
В дальнейшем выучился на столяра. Дважды ему присуждались премии на выставках в Тарту, где демонстрировались его работы по инкрустации и машина для копки картофеля.Весной 1862 года покидает родные места и с 1863 по 1873 годы учился скульптуре в Берлинской, Петербургской и Мюнхенской академиях художеств.
С 1873 по 1890 годы художник работал и жил в Риме, откуда совершал поездки в Санкт-Петербург, Москву, Ригу, Париж, Мюнхен, Лондон и другие города, чтобы получить заказы и экспонировать на выставках свои работы.Скульптор неоднократно посещал Эстонию, где также выставлял свои скульптуры.
В 1878 году в Таллине состоялась выставка произведений Вейценберга, которая явилась одновременно и первой выставкой скульптуры в Эстонии.
С 1890 по 1914 годы скульптор работал в Санкт-Петербурге, где им созданы скульптурные портреты выдающихся русских и эстонских деятелей культуры: Л. Н. Толстого, П. И. Чайковского, Я.Хурта, М.Веске.
В 1914 году переселился в Таллин, где и прожил до своей кончины 22 ноября 1921 года. Последние годы художник жил во флигеле Кадриоргского дворца.
В самом дворце размещались его произведения, которые после смерти художника вместе с 80 скульптурами, купленными в 1913 году Таллинской городской управой, были переданы Эстонскому художественному музею.