Родился в крестьянской семье, в деревне Загорица близ Любляны (ныне Словения, в те годы — Священная Римская империя). Уже в школе показал незаурядные способности, в 1773 году закончил лицей в Любляне, где его школьным товарищем был Антон Линхарт, впоследствии ставший словенским историком и писателем. После лицея некоторое время работал корабельным инженером в Нижней Австрии.
В 1780 году Юрий переселился в Вену и стал там преподавателем (позднее — профессором) математики артиллерийского училища.
С этого момента он подписывается как Георг Вега.
В 1782-1790 годах опубликовал свой первый научный труд — четырёхтомные «Лекции по математике» (Vorlesungen uber die Mathematik), заслужившие высокие оценки и восемь переизданий (последнее — в середине XIX века). Кроме основательных сведений по математике, труд содержал курс механики твёрдого тела и гидродинамики.
В 1787 году Вега женился на 16-летней чешке Йожефе Свобода (Jozefa Svoboda, 1771–1800). У них родились трое детей.Как военнослужащий-артиллерист он принимал участие в войне с Османской империей (1789—1791), где успешно командовал мортирной батареей при освобождении Белграда и был произведен в майоры. Затем он был направлен в Рейнскую армию (1792) и участвовал в многочисленных конфликтах с революционной Францией. Награждён высшей австрийской военной наградой — орденом Марии-Терезии (1796). За боевые заслуги 22 августа 1800 года Веге был присвоен титул барона, с правом на герб и с передачей титула по наследству, а также военный чин оберст-лейтенанта. После заключения Кампо-Формийского мира вернулся в Вену, занимался там проектом усовершенствования мортир и математическими трудами.Трагически погиб в 48-летнем возрасте (1802) — его тело обнаружили в водах Дуная близ Вены. Девять лет спустя у одного венского мельника обнаружили чертёжный прибор Веги. Следствие пришло к выводу, что Вега заехал туда купить у мельника лошадь, но был им убит и ограблен. Титульный лист первого издания семизначных логарифмических таблиц Георга ВегиГлавный труд Веги — таблицы семизначных логарифмов, которые на протяжении более 150 лет перепечатывались во многих странах. Первая их редакция была опубликована в 1783 году под названием «Логарифмические, тригонометрические и другие таблицы и формулы для употребления математиков» .
В предисловии Вега сообщил, что ставил себе целью создать полный, недорогой и, что особо важно, свободный от ошибок сборник таблиц и формул.
В своих таблицах Вега исправил сотни ошибок, содержавшихся в более ранних трудах других авторов; он даже объявил, что заплатит дукат (около 3 рублей золотом) за каждую обнаруженную в его издании ошибку. При жизни Веги в его труде были обнаружены две ошибки, за которые были выплачены 2 дуката; позднее были найдены ещё три.
На основе таблиц Георга Веги в 1857 году Карл Бремикер (Carl Bremiker) подготовил первый сборник логарифмических таблиц, полностью свободный от ошибок.Позднее Вега выпустил обширное комментированное издание семизначных таблиц (1793), за сто лет переиздававшееся более ста раз.
В 1794 году он издал сборник десятизначных таблиц, активно использовавшихся много лет в астрономии и геодезии. Общее число переизданий таблиц Веги во всех странах измеряется сотнями. Начиная с 6-го издания Вега, чтобы снизить цену на свой труд и сделать его доступным для всех, отказался от авторского гонорара.Вега активно содействовал международному принятию метрической системы мер и весов, выступал также за реформу измерения времени на основе десятичной системы.