Вецель родился в 1747 году в Германии. Обучался богословию, праву, философии и филологии в Лейпцигском университете.
В ранние годы на него произвели впечатление философы Джон Локк и Жюльен Офре де Ламетри. Вецель был наставником в судах Баутцена и Берлина. После этого недолго проживал в Вене, где пытался устроиться рабочим в местный национальный театр, но ему не удалось. Таким образом, он вернулся в Лейпциг. Затем, в 1793 году, он прибыл в родной Зондерсхаузен, где жил вплоть до своей смерти в 1819 году.Хотя его произведения после публикации пользовались чрезвычайным спросом, Вецель после смерти был почти забыт.
Но во второй половине XX века популярность вновь пришла к его произведениям.
Это произошло за счёт немецкого автора Арно Шмидта, который в 1959 году опубликовал радио-эссе о нём.