Родился и воспитывался в Пеште. Первые уроки мастерства получил у Яноша Тобиаса Кeрлинга.
С 1835 года в течение нескольких лет изучал живопись в венской Академии изобразительных искусств. Ученик Леопольда Купельвизера и Иоганна Эндера, оказавших большое влияние на Вебера. После обучения в академии художник отошeл от академического стиля и стал творить в реалистической манере.Жил, давая частные уроки рисования и литографии. Успех на художественных выставках, способствовал росту популярности Х. Вебера, который стал модным портретистом.
В 1840 году он отправился в Мюнхен. После возвращении на родину, написал несколько исторических картин («Смерть Яноша Хуньяди» (1844), «Король Шаламон в темнице» (1852)) и ведут.
В 1845—1847 гг. совершил путешествие по Италии, где написал ряд пейзажей и портретов сельских жителей, в основном, женщин.Венский период творчества Хенрика Вебер характеризуется созданием ряда замечательных портретов и литографий, изображающих культурные традиции городских и сельских жителей Венгрии.