Родился в семье научного работника, физикохимика Якова Михайловича Варшавского (1917—) и врача Марии Цейтлиной (родом из Харькова). Отец был выпускником химического факультета МГУ (1939) и участником Великой Отечественной войны, впоследствии — доктор химических наук, старший научный сотрудник Института молекулярной биологии.Окончил химический факультет Московского государственного университета в 1970 году.
В 1973 году защитил кандидатскую диссертацию в Институте молекулярной биологии АН СССР и получил соответствующую степень по химическим наукам. Статья «Heterogeneity of chromatin subunits in vitro and location of histone» (1976) вошла в список 50 наиболее цитируемых работ советских учёных (1973—1988).
В 1977 году, покинув конгресс по молекулярной биологии в Хельсинки, через Швецию эмигрировал в США.
С 1977 года — в Массачусетском технологическом институте (с 1980 года — доцент, с 1986 года — профессор).
С 1992 года научный сотрудник и профессор клеточной биологии Калифорнийского технологического института.Научные труды посвящены роли убиквитина в клеточном цикле, апоптозе, малигнизации, процессах воспаления и иммунного ответа.
В 1986 году описал правило N-конца (англ. N-end rule) убиквитинирования. Автор принципиального метода целенаправленного уничтожения раковых клеток путём гомозиготных делеций ДНК (англ. deletion-specific targeting).
В 1988 году разработал метод анализа иммунопреципитации хроматина[en] (ChIP).Член Американской академии искусств и наук (1987), иностранный член EMBO (2001), Европейской академии (2005).