Родился в 1933 году в Улан-Баторе (Монголия).
В 1954 году принял участие в первом для СССР чемпионате мира в спринте, где разделил 5-8 места.
В 1956 году участвовал в Олимпийских играх в Мельбурне, где был 9-м в гонках на тандемах.
В 1958 году окончил ГЦОЛИФК, выступал за «Буревестник» (Москва) и ЦСК МО.
В 1960 году завоевал бронзовую медаль Олимпийских игр в Риме в гите на 1 000 м.Помимо международных медалей, Ростислав Варгашкин завоевал много наград на чемпионатах СССР: 1952 — золотая медаль в командной гонке преследования1953 — золотые медали в спринте и гите1954 — золотые медали в спринте и гите1955 — золотые медали в спринте и гите1957 — золотые медали в спринте, гите и гонках на тандемах1959 — золотая медаль в гонках на тандемах1962 — золотая медаль в командной гонке преследования1963 — золотая медаль в командной гонке преследованияВпоследствии перешёл на тренерскую работу, с 1966 по 1978 годы был главным тренером сборной СССР. Входил в Руководящий комитет Европейского союза велосипедистов (1993) и в Международный союз велосипедистов в числе 14 членов от Европы с правом голоса (1993).
В 1989—1996 годах был президентом Союза велосипедистов России.