Являлся голкипером сборной Венгрии, которая на протяжении четырёх лет (1950—1954), считалась непобедимой. Иногда действовал на поле на позиции «либеро» , то есть в качестве дополнительного защитника.
На клубном уровне выступал за «Гонвед» .
В высшем дивизионе чемпионата Венгрии провёл 360 матчей.Чемпион Олимпийских игр 1952 года. Лучший вратарь в истории венгерского футбола[источник не указан 1790 дней]. Спортсмену неоднократно предлагали выгодные контракты многие зарубежные клубы, включая бразильский Фламенго, однако он предпочел остаться на родине со своей семьей.
В составе национальной сборной стал серебряным призёром чемпионата мира по футболу 1954 года в Швейцарии. Через четыре месяца после этого успеха футболист был арестован и отдан под суд по обвинению в шпионаже.
Он был помещен под домашний арест в течение нескольких месяцев трижды в неделю подвергался допросам в тюрьме. Затем был отправлен в провинциальный клуб «Татабанья» .При этом, несмотря на все трудности, венгерская сборная продолжала играть на высоком уровне.
В период с июля 1954 г. по февраль 1956 гг. она из 19 игр выиграла 16 и три свела в ничью.
И только после Венгерских событий 1956 г. «команда мечты» начала 1950-х гг распалась.Впоследствии принимал участие в первенствах мира 1958 и 1962 гг., которые, впрочем, оказались неудачными для сборной Венгрии.
В 1962 г. он оставался последним действующим футболистом из «серебряного» состава континентального первенства 1954 г.
В общей сложности на чемпионатах мира он провел за сборную 13 матчей.Когда Грошичу исполнилось 82, руководители «Ференцвароша» узнали о его плачевном финансовом положении, и заключили с ним пожизненный контракт.
В 2008 году он появился на поле на несколько минут в товарищеском матче «Ференцвароша» против «Шеффилд Юнайтед» . За Грошичем в «Ференцвароше» навечно закреплен первый номер.