Родился в семье служащего, с конца 1920-х годов семья проживала в Москве. Отец — Гавриил Яковлевич Голубовский (—1946), мать — Рахиль Марковна Голубовская, урождённая (—1961).Борис Голубовский после окончания режиссёрский факультет ГИТИСа в 1941 году (курс Н. М. Горчакова и Ф. Н. Каверина) работал в Саратовском АТД. Первая его роль как актёра — в спектакле «Надежда Дурова» .Во время обучения в ГИТИС Голубовский бывал на открытых репетициях у В. Э. Мейерхольда, К. С. Станиславского, Вл. И. Немировича-Данченко, смог познакомиться с такими видными театральными деятелями как А. Д. Дикий, Л. М. Леонидов.Во время Великой Отечественной войны был режиссёром Московского комсомольского фронтового театра ГИТИСа и Театра миниатюр «Огонёк» , работал режиссёром на радио.
В 1950—1954 годах — главный режиссёр Московского областного театра драмы, в 1957—1965 годах — главный режиссёр московского ТЮЗа.
С 1965 по 1987 возглавлял Московский драматический театр имени Н. В. Гоголя.Борис Гаврилович с 1975 года преподавал в ГИТИСе, среди его учеников режиссёр А .Б. Плетнёв, режиссёр Ансар Халилуллин, актриса Анна Большова, актриса Н. Е. Третьякова, актёр Павел Трубинер, актёр и режиссёр Вячеслав Гришечкин.Похоронен в Москве на Востряковском кладбище рядом с родителями.