Мать — Мэри Самуиловна Голомшток, из семьи томских евреев-кантонистов, врач-невропатолог. Отец, Наум Яковлевич Коджак (1890, Севастополь — , Свердловск), из семьи крымских караимов, горный инженер, музыкант-любитель, в 1934 году был арестован «за антисоветскую пропаганду» , осуждён на 5 лет лагерей. Игорь был записан в школу под фамилией матери, которую и носил всю жизнь.
В 1937 году перебрался с матерью в Москву.
В 1939—1943 годах с матерью и отчимом Иосифом Львовичем Табукиным жил и учился в Магадане.Закончил Финансовый институт в Москве (1949), в 1948 году поступил на вечернее отделение искусствоведения филологического (впоследствии — исторического) факультета МГУ. Работал во Всесоюзных научно-исследовательских мастерских по реставрации архитектурных памятников, в отделе передвижных выставок Дирекции художественных выставок и панорам Министерства культуры СССР, в ГМИИ (1955—1963), затем — старший научный сотрудник ВНИИТЭ. Летом 1964 года по приглашению Виктора Никитовича Лазарева читал курс лекций по современному западному искусству на искусствоведческом отделении МГУ.Дружил с М. Розановой и А. Синявским, художниками Б. Свешниковым, Б. Биргером и др. Перевёл роман А. Кестлера «Слепящая тьма» , перевод циркулировал в самиздате.
В 1965 году привлечён как свидетельу по делу Даниэля-Синявского, «за отказ от дачи показаний» был приговорён к 6 месяцам принудительных работ (фактически — крупному денежному штрафу).Из-за идеологических санкций советское искусство лишилось многих работ И. Голомштока. Во всех советских органах печати его имя попало под запрет.
Это относилось как к будущим публикациям, так и к прошлым. Договор по книге об Иерониме Босхе с издательством «Искусство» был расторгнут издательством. Та же участь постигла и договор о печати альбома картин Сезанна в «Авроре» . Готовая книга «Эстетическая природа течений в современном зарубежном искусстве. — М.: Искусство, 1964.» была уничтожена. Большая статья об исторических взаимосвязях ремесла, искусства и дизайна вошедшая в сборник научных трудов ВНИИТЭ «Техническая эстетика» № 2 была удалена (весь тираж пошел под нож и затем был напечатан без статьи).C 1972 года — в эмиграции в Великобритании. Сотрудничал с Русской службой Би-Би-Си. Ответственный секретарь журнала Континент, публиковался в журналах Континент, Синтаксис. Перевел книгу британского историка и политика Николаса Бетелла Последняя тайна (опубл. 1977). Преподавал в Сент-Эндрусском университете, Эссексском университете, Оксфордском университете.