Сын хирурга. Обучался до 1870 года в Далидж-колледже, затем в 1870—1872 годах в Ливерпульском колледже.
До 1876 года изучал математику в Тринити-колледж (Кембридж).
В 1876—1795 работал в Кавендишской лаборатории под руководством Джеймса Клерка Максвелла и Джона Уильяма Стретта.
В 1881—1897 годах был преподавателем математики и физике в Тринити-колледже, читал лекции по математике в Кембриджском университете, в 1898 году был назначен директором Ливерпульского университета.
С момента основания в 1900 году до 1919 года — первый директор Национальной физической лаборатории Великобритании.После ухода на пенсию вернулся в университет Кембриджа, где редактировал Словарь прикладной физики (Dictionary of Applied Physics).
С 1920 по 1923 год — профессор и директор Департамента аэронавтики Имперского колледжа в Лондоне.Оставался членом Генерального совета Национальной физической лаборатории Великобритании и возглавлял его Исполнительный комитет с 1925 по 1932 год. Исследования Р. Т. Глэйзбрука посвящены оптике, термометрии, электрическим измерениям, определению фундаментальных физических постоянных, провёл важные исследования в области аэронавтики. Изобрёл поляризационную призму из кристалла исландского шпата, применяемую в качестве поляризатора или анализатора в поляризационных приборах (призма Глэйзбрука). Совместно с Дж. Максвеллом исследовал распространение волн в двухосных кристаллах.
В 1883 году разработал теорию вогнутой дифракционной решетки. Был президентом ряда научных обществ.Вице-президент Лондонского королевского общества в 1919—1920 и 1924—1928 годах. Секретарь его иностранной секции (1926—1929).