Родился 2 мая 1937 года в Ташкенте в семье военного.Отец Антона Геращенко, кадровый офицер Красной армии, погиб в феврале 1944 года на фронте Великой Отечественной войны при освобождении Керченского полуострова. После войны в 1948 году его мать с детьми с заездом в Одессу к родне уехали родину матери, на Кубань. Там семья обосновалась в станице Каневской. Мама Антона надорвалась в войну, стала трудовым инвалидом.
В 1951 году его мать умерла, будущий писатель остаётся круглым сиротой. Его помещают с братом в детский дом для детей погибших офицеров, расположенный под Кропоткином. Здесь он окончил семь классов, и затем стал трудовым воспитанником колхоза в Гулькевичском районе Краснодарского края. Оттуда его посылают на учёбу в школу ФЗО города Новочеркасска. Закончив её по специальности «строитель-отделочник» , Геращенко работает в Ростове-на-Дону, Грузии, Волгодонске, Новосибирске, одновременно получает полное среднее образование, окончив школу рабочей молодёжи.Затем его призывают в ряды Советской армии, и он проходит там действительную службу. После демобилизации был строителем на заводе «Ростсельмаш» . Тогда же начинает писать свои первые рассказы и очерки.
В 1962 году поступает на заочное отделение в Литературный институт имени А. М. Горького и переходит на журналистскую работу в газету Северо-Кавказского управления гражданской авиации «Воздушный путь» .
В 1963 году вступает в ряды КПСС.Окончив в 1968 году Литературный институт, Геращенко до 1982 года работает литературным сотрудником в журнале «Дон» .Геращенко долго не мог пробиться в печать со своими произведениями, но его поддержал известный донской писатель Анатолий Калинин, написав предисловие к его рассказу «Улица Стачек» , который опубликовала «Литературная Россия» . Затем в этой же газете были опубликованы и другие рассказы Геращенко, в том числе «Своды» и «Лысый курган» .Затем публикует повести «Трава зелёная» (1971, о молодых рабочих), «Личное счастье» (1972, о молодых рабочих, в отдельном издании — «Одержимость» ), «Баллада об окраине» (1975), «Завязь» (1977, о современной молодёжи села) «Яблоневый цвет» (1978, о молодых рабочих).
В 1976 году Геращенко принимают в Союз писателей СССР.Пишал также и для детей.
В 1975 году выходит его фантастико-приключенческая повесть «Бомбар-I» о Гражданской войне на Кубани, а в 1985 «повесть о необыкновенном путешествии» «Долгий путь домой» .Долгих шесть лет, с 1975 по 1981 год Геращенко работает над романом «Ярь» о строителях Атоммаша, поставив в нём значительные производственные и нравственные проблемы.
В 1981 году роман выходит в московском издательстве «Современник» .Также писал литературно-критические статьи о произведениях Виктора Астафьева, Валентина Овечкина, Ивана Зубенко, Николая Смирнова, Григория Гасенко, Руслана Тотрова и других.После распада Советского Союза и разделения Союза писателей СССР на Союз писателей России и Союз российских писателей Геращенко вошёл в первый из них.
В 1990-х и 2000-х годах Геращенко продолжает писать, выпускает автобиографический роман «Ростов-папа» , обрисовав в нём жизнь Ростова с 1960-х по 1990-е годы и создав образы многих донских писателей, в том числе миллионера Георгия Махоркина, а также представителей партноменклатуры и членов банды братьев Толстопятовых.Скончался 7 декабря 2012 года.