Генц — второй сын бреславльского минцмейстера Иоганна Фридриха Генца, который в 1779 году был назначен генеральным директором по монетному делу и был знаком с Лессингом, Кантом, Мендельсоном и Гарве. По материнской линии Генц приходился кузеном воспитателю прусских принцев и министру Фридриху Ансильону. Через брата Фридриха Генца, венского публициста и историка и ближайшего сотрудника князя Меттерниха, и его другого брата Людвига, военного советника в прусском министерстве финансов, Генц находился в родственных связях и дружил с архитектором Давидом Фридрихом Жилли.
В 1783—1790 годах Герц изучал архитектуру в Берлинской академии художеств у Гонтарда.
В 1790—1795 годах Генц находился в Италии, провёл два с половиной года в Риме и длительное время исследовал древнегреческие руины на Сицилии, о чём составил подробные путевые заметки. Затем Генц работал в Берлине в высшем придворном строительном ведомстве, с 1796 года — в Академии художеств и с 1799 году стал соучредителем Берлинской академии архитектуры, в которой преподавал градостроительство в звании профессора. Благодаря Иоганна Вольфганга Гёте в 1801 году Генц получил право работать самостоятельно в Берлине и по приглашению поэта переехал в Веймар, где работал над резиденцией герцога Карла Августа и другими сооружениями при дворе.
В Веймаре Генц сблизился с Гёте и познакомился с Фридрихом Шиллером и Кристофом Мартином Виландом.
В 1803 году Генц вернулся в Берлин и в том же году вошёл в состав сената Академии художеств, с 1805 года являлся ординарным членом, с 1809 года занимал должность секретаря сената.
В качестве старшего строительного советника в 1810 году Генц был назначен первым директором комиссии по строительству Городского дворца в Берлине.
В том же году Генрих Генц вместе с Вильгельмом Гумбольдтом и археологом Алоисом Хиртом, которого он уже знал по Италии, был назначен ответственным за оформление дворца принца Генриха под здание университета.