Армянские корни спортсменки восходят ко временам её бабушки и дедушки, которые жили в Армении во время геноцида армян 1915 года. Им посчастливилось не оказаться среди убитых 1,5 миллионов армян, и они были вынуждены искать убежища в Ливане. Когда в 1975 году в Ливане началась гражданская война, её семья уехала в Соединенные Штаты Америки. После отъезда Гебешян побывала на Родине только два раза. Армянский был её первым языком, на нём она может общаться и в настоящее время.Гебешян родилась 27 июля 1989 года в Кембридже, штат Массачусетс. Её родители — Кристина Абрамян и Хагоп Гебешян.
В 2007 году Хури окончила Ньютоновскую Северную школу (Newton North High School).
В 2011 году окончила университет штата со степенью бакалавра в области спортивной подготовки.
С 2012 года училась в медицинской школе Уэйк Форест (Wake Forest School of Medicine), которую окончила в 2014 году с степенью магистра в области медицинских наук.
В настоящее время практикует помощником врача в клинике Кливленда в штате Огайо.Имеет двойное гражданство США и Армении.