Родился в 1890 году в Ахене в семье врача.
В 1908 году начал изучать право в Оксфорде, позже перевелся в Лозанну. Во время учебы в Лейпциге в 1909-1914 годах начал проявлять интерес к литературе и философии.
В 1910 году появилась его первая книга стихов «Города, ночи и люди» (нем. «Stadte, Nachte und Menschen» ).
В 1914 году появилась его пьеса «Сын» (нем. «Der Sohn» ), признаваемая ныне первым опытом экспрессионистской драмы. Его воодушевление в связи с начавшейся Первой мировой войной вскоре, после поступления на добровольную службу, сменилось резким протестом против войны. Газенклевер симулировал психическое заболевание и в 1917 году был уволен со службы.
В том же году за своё переложение «Антигоны» Софокла он был удостоен премии Генриха Клейста.
В 1920-е годы издал еще несколько пьес. Позже, при нацистах, его творчество оказалось под запретом, книги были внесены в списки для сожжения. Газенклеверу пришлось эмигрировать в Ниццу. Там он женился. Во время Второй мировой войны был дважды интернирован французами как подданный враждебного государства.
В ночь с 21 на 22 июня 1940 года, после падения Франции, покончил с собой в лагере для интернированных в Ле-Милль близ Экс-ан-Прованса, чтобы не попасть в руки нацистам.
С 1996 года в Ахене раз в два года вручается литературная премия его имени.