Сергей Газаров родился 13 января 1958 года в городе Баку (Азербайджанская ССР). По национальности — армянин.Отец Сергея был директором конфетной фабрики, а затем — директором винного завода в Баку. Мать была бухгалтером, но по профессии почти не работала.
На вступительных экзаменах в ГИТИС, на курс Олега Павловича Табакова, Сергей Газаров читал отрывок из повести «Нос» Н. В. Гоголя. Актёр вспоминает: «Только приехал из Баку, и у меня был ярко выраженный акцент. Педагоги попадали с кресел. Умоляли Табакова меня не брать, а он поступил иначе» .
В 1980 году Газаров окончил актёрский факультет Государственного института театрального искусства имени А. В. Луначарского (ГИТИСа).После окончания института работал в московском театре «Современник» .
С 1986 по 1991 годы служил в Московском театре-студии под руководством Олега Табакова, где в 1991 году поставил спектакль «Ревизор» , за что в этом же году был удостоен премии Союза театральных деятелей России за лучший спектакль года.
В 1991 году организовал частную кинокомпанию «Никита и Пётр» .
С 1998 года — главный режиссёр Московского драматического театра под руководством Армена Джигарханяна.
В кино дебютировал в 1980 году, снимаясь в эпизодических ролях. Первая главная роль — латиноамериканец Рауль Санчес в советской социально-сатирической драме «Выигрыш одинокого коммерсанта» (1984) чилийского кинорежиссёра Себастьяна Аларкона.
В 1989 году дебютировал в качестве режиссёра кино, сняв трагикомическую мелодраму «Крейзи» . Тогда же поставил совместно с Олегом Павловичем Табаковым спектакль «Крыша» .