Сын прибалтийского художника Иоганна Гау (1771—1838), который был ему первым учителем. Затем он обучался у бывшего придворного художника Карла фон Кюгельхена (1772—1832).
В возрасте 16 лет получил шанс написать портреты великих княжон, а также получил рекомендательное письмо к профессору Императорской Академии художеств Александру Зауервейду.
В 1836 году получил большую серебряную медаль и звание неклассного художника. Через два года совершил поездку по Италии и Германии. Вернувшись в 1840 в Россию, получил должность придворного художника и в течение трех десятилетий работал на семью императора Николая I, а также выполнял светские портреты.
В 1849 году за портреты великой княгини Марии Николаевны с детьми и её супруга герцога Максимилиана Лейхтенбергского — президента Академии художеств — Гау был утвержден в звании академика акварельной живописи.