Алкок родился в Эденбридж, Кент.
В возрасте пятнадцати лет он выиграл стипендию на обучение в Королевском колледже музыки, где учился сочинять музыкальные произведение под руководством Артура Салливан и игру на органе у Джона Стайнера.Играл на органе в церкви Святой Троицы на Слоун-стрит и в церкви Святой.Маргариты в Вестминстере.
В 1893 году он был назначен профессором кафедры органа в Королевском музыкальном колледже.
В 1896 был назначен помощником органиста Вестминстерского аббатства, помимо этого был одновременно органистом Королевской часовни в 1902 году.
В 1916 году он стал органистом собора Солсбери, где курировал работу по реставрации знаменитого органа отца Уиллиса, которой занимался Генри Уиллис, внук отца Уиллиса.Успехи Алкока позволили ему выделиться и стать приглашенным органистом в Вестминстерском аббатстве и сыграть на коронации трех королей: Эдуарда VII (1902), Георга V (1911) и Георга VI (1937).Между 1917 и 1924 годами Алкок, вместе с Чарльзом Харфордом Ллойдом, попеременно занимал пост председателя Общества Мадригалов, став приемником сэра Фредерика Бриджа, который был назначен на эту должность в 1888 году.Алкок был посвящен в рыцари в 1933 году за заслуги в на музыкальном поприще.
Он был талантливым педагогом и его учебные пособия и по сей день сохранили свою ценность. Среди его заметных учеников были Эдвард Bэрстоу, Ральф Даунс, и С. Драммонд Вулф.Алкок умер в возрасте 85 лет. Его панихида прошла в Солсберийском соборе.