Родился в семье сельского учителя.
В 1940 году окончил педагогический техникум в посёлке Сапожок Рязанской области (специальность — учитель русского языка и литературы).
В ВМФ с 1940 года.
В 1943 году окончил Военно-морское авиационное училище им. С. А. Леваневского, эвакуированное на станцию Безенчук Куйбышевской (ныне Самарской) области.
В период Великой Отечественной войны с июля 1943 года штурман звена 9-го гвардейского минно-торпедного авиационного полка (5-я минно-торпедная авиационная дивизия, ВВС Северного флота), гвардии лейтенант.
К апрелю 1944 года совершил 22 боевых вылета, потопил 2 подводные лодки, 2 транспорта, мотобот и танкер и в составе группы — 2 транспорта противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 августа 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные мужество и героизм гвардии лейтенанту Галкину Павлу Андреевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4046).